Equações ( I )

Equação é toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual haja uma ou mais letras que representem números desconhecidos dessa sentença.

Cada letra que representa um número desconhecido chama-se incógnita.

Exs: 3x – 2 = 16 (equação com uma incógnita: x)

          x + y = 21 (equação com duas incógnitas: x e y)

Nas sentenças matemáticas, usamos símbolos em vez de palavras. Veja.

= (igual a)

≠ (diferente de)

> (maior que)

< (menor que)

↔ (equivalente a)

Em uma igualdade, a expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada 1º membro da igualdade; a situada à direita do símbolo = é denominada 2º membro da igualdade.

Observe.

8 + 3 = 11 → 2º membro

   ↓

1º membro

Propriedades da Igualdade      

·         Reflexiva: a = a, para qualquer número racional a. Ex: 4 = 4; 3/5 = 3/5

·         Simétrica: a = b ↔ b = a, para quaisquer a e b. Ex: 3 + 5 = 8 → 8 = 3 + 5

·         Transitiva: a = b e b = c ↔ a = c, para quaisquer a, b e c.

                    Ex: 3 + 5 = 8 e 8 = 9 – 1 ↔ 3 + 5 = 9 – 1

Exercícios Resolvidos

1. Escreva a equação correspondente a cada situação:

a) Um número y aumentado de 80 é igual a 120.

Solução: y + 80 = 120

b) Subtraindo 9 de um número x, obtemos 63.

Solução: x – 9 = 63

c) O dobro do número x aumentado de 80 é igual a 168.

Solução: 2x + 80 = 168

d) A metade do número x adicionada com a terça parte do mesmo número x é igual a 35.

Solução: 1/2x + 1/3x = 35

e) O triplo do número x diminuído de 13 dá 47.

Solução: 3x – 13 = 47

f) O quádruplo do número x é igual ao próprio número x aumentado de 72.

Solução: 4x = x + 72

g) O número y diminuído do seu triplo é igual ao quádruplo do próprio número y menos 18.

Solução: y – 3y = 4y - 18

2. Daqui a 15 anos Perla terá 36 anos. Escreva uma equação que permita calcular a idade que Perla tem atualmente.

Solução: x + 15 = 36

3. Há duas caixas num depósito, uma delas tem o quíntuplo da massa da outra. Se as duas caixas juntas pesam 42 quilogramas, escreva a equação que representa esse fato.

Solução: x + 5x = 42

Conjunto universo de uma equação (U) – conjunto numérico formado por todos os valores pelos quais a incógnita pode ser substituída.

• Se U = IN, a incógnita pode assumir o valor de qualquer número natural.

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6 ...}

• Se U = Z, a incógnita pode assumir o valor de qualquer número inteiro.

Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ...}

• Se U = Q, a incógnita pode assumir o valor de qualquer número racional.

Q = {a/b | a ϵ Z; b ϵ Z*}

Conjunto solução de uma equação (S) – também chamado de conjunto verdade (V) – é formado por todos os valores do conjunto universo dado que tornam verdadeira a igualdade.

O conjunto solução pode ter um ou mais elementos, podendo ser também um conjunto vazio.

Exemplo:

Qual é o conjunto solução da equação x + 1 = 0, sendo U = IN?

Equação: x + 1 = 0

Conjunto universo: U = IN

Conjunto solução: como nenhum número natural satisfaz a equação dada, o conjunto solução é vazio e é indicado por S = Ø.

Solução ou raiz: a equação não tem raiz no conjunto IN.

Como verificar se um número dado é raiz de uma equação?

• Substituímos a incógnita pelo número dado.
• Calculamos o valor numérico de cada membro da igualdade obtida, separadamente.

Se a igualdade obtida for verdadeira, o número dado será raiz da equação.

Exemplo:

Verificar se -6 é raiz da equação 3x – 5 = 5x + 7.

3x – 5 = 5x + 7

Substituímos a incógnita x pelo número -6

3 . (-6) – 5 = 5 . (-6) + 7

- 18 – 5 = - 30 + 7

- 23 = - 23

A sentença é verdadeira. Então, -6 é raiz da equação 3x – 5 = 5x + 7.

Equações Equivalentes – são duas ou mais equações que apresentam o mesmo conjunto solução (não vazio), em um mesmo conjunto universo.

Exemplos:

1. Dadas as equações x + 3 = 10; x = 10 – 3 e x = 7, sendo U = Q. Determine o conjunto solução de cada uma.

x + 3 = 10  → S = {7}

x = 10 – 7  → S = {7}

x = 7          → S = {7}

A forma mais simples de representar tais equações é x =7.

2. Considere as equações 2x = 10, x = 10/2 e x = 5, sendo U = Q. Verifique se apresentam a mesma raiz ou solução.

2x = 10  → S = {5}

x = 10/2 → S = {5}

x = 5      → S = {5}

A forma mais simples de representar tais equações é x = 5.

Princípios de Equivalência

·         Princípio aditivo – se a = b, então a + c = b + c

Exemplo:

Obter uma equação equivalente à equação x + 2 = 5, escrita na sua forma mais simples.

Solução:

Adicionemos 3 aos dois membros da equação

x + 2 = 5

x + 2 + 3 = 5 + 3

x + 5 = 5 + 3

x = 5 + 3 – 5

x = 3 (forma mais simples de escrever a equação x + 2 = 5)

As equações x + 2 = 5 e x = 3 são equivalentes, pois apresentam a mesma solução.

·         Princípio multiplicativo – se a = b, então a . c = b . c, com c ≠ 0

Exemplo:

Obter uma equação equivalente à equação 2x = 12

Solução:

Multipliquemos os dois membros da equação por 2

2x = 12  → equação dada, S = {6}               

2 . (2x) = 2 . 12

4x = 24  → equação equivalente à equação dada, pois S = {6}