Equações (III)

Exercícios Resolvidos

1. A soma de um número com a sua quinta parte é igual ao dobro do número, diminuído de 30. Determine esse número.

Solução:

Não conhecemos o número, portanto vamos atribuir à letra m.

m mais sua quinta parte (1/5m) igual ao dobro (2m) menos 30

Escrevemos a equação assim:

m + 1m = 2m - 30

       5

Reduzimos todos os termos ao mesmo denominador. Nesse caso, 5. Multiplicamos todos os termos pelo denominador pelo denominador comum, assim obteremos uma equação apenas com coeficientes inteiros:

5m + 1m = 10m - 150

 5       5       5         5

5.(5m) + 5.(m) = 5.(10m) – 5.(150)

      5            5             5               5

5m + m = 10m – 150

6m – 10m = -150

-4m = -150      (multiplicamos os termos por -1)

-1 . (-4m) = -1 . (-150)

4m = 150

m = 150

          4

m = 37,5

2. Dada a equação 3x + 5 _ 2x – 9 = 8, sendo U = IN, determine o valor de x.

                                   2            3

Solução:

Devemos reduzir todos os termos da equação ao mesmo denominador, fatorando 2 e 3...........m.m.c (2 e 3) = 6 e, em seguida, multiplicar todos os termos pelo denominador comum (aplicando o princípio multiplicativo) para obter uma equação com coeficientes inteiros.

3x + 5 _ 2x – 9 = 8

    2             3

3.(3x + 5) _ 2.(2x – 9) = 6 . 8

        6                  6             6

(9x + 15) _ (4x – 18) = 48

     6                6              6

6.(9x + 15) _ 6.(4x – 18) =  6.(48)   (eliminamos o denominador: 6/6 = 1)

   (     6     )       (     6     )         (6 )

Eliminamos os parênteses, respeitando os sinais:

9x + 15 – 4x + 18 = 48

9x – 4x = 48 – 15 – 18

5x = 15

x = 15

       5

x = 3 (raiz da equação)

S = {3}

3. Se a área de um terreno retangular é de 360m² e uma de suas dimensões é 12m, calcule a outra dimensão.

                             

h

           b      

Solução:

Apliquemos a fórmula: A = b . h (vide explicação na p. Fórmulas deste blog)

Temos: A = 360, h = 12 e b = ? Calculemos b:

A = b . h

360 = b . 12

b = 360

        12

b = 30m

4. Em um terreno retangular, a medida do contorno é de 80 metros. A lateral mede o triplo da frente do terreno. Se for colocada grade de ferro na frente do terreno, quantos metros de grade serão necessários?

Solução:

Consideremos a medida do contorno como o perímetro (P), a lateral como o comprimento (b) e a frente como a largura (h):

P = 80, b = 3h e h = ?

Aplicando a fórmula, P = 2b + 2h, vamos calcular h:

P = 2b + 2h

80 = 2.(3h) + 2h

80 = 6h + 2h

80 = 8h

-8h = -80  .(-1)

8h = 80

h = 80

        8

h = 10m

5. Um tanque está completamente cheio de água. Deixando-se escoar 68 litros de água, o tanque fica ainda com a terça parte de sua capacidade total. Qual é a capacidade desse tanque?

Solução:

Vamos atribuir à capacidade do tanque a letra x; ao escoar, a sua capacidade é diminuída, portanto usaremos o sinal – na sentença; a terça parte da sua capacidade será representada pela fração 1/3x.

x – 68 = 1x

              3

x – 1x = 68

      3

Multipliquemos todos os termos pelo denominador 3

3 . x – 3. 1x = 3 . 68

               3

3x – x = 204

2x = 204

x = 204

         2 

x = 102 litros

6. Um terreno tem a forma de um trapézio com uma área de 270m². A base maior desse terreno mede 20m e a altura, 15m. Quanto mede a base menor do terreno?

Solução:

Temos : A = 270, B = 20, h = 15 e b = ?

Aplicando a fórmula:

A = (B + b) . h

               2

270 = (20 + b) . 15

                  2

Multiplicamos os termos por 2, para que os coeficientes sejam inteiros:

2 . 270 = 2. (20 + b) . 15

                             2

540 = (20 + b) . 15

540 = 300 + 15b

-15b = 300 -540

-15b = -240  (multiplicamos os termos por -1)

-1 . (-15b) = -1 . (-240)

15b = 240

b = 240

       15

b = 16m

7. O perímetro de um triângulo é 27cm. As medidas dos lados desse triângulo são expressas por três números inteiros e consecutivos. Quais são as medidas dos lados do triângulo?

Solução:

Vamos atribuir as letras a, b e c aos lados do triângulo.

Temos: P = 27,  a = x + 1,  b = x + 2,  c = x + 3

Aplicando a fórmula (v. p. FÓRMULAS neste blog), vamos calcular o valor de x:

P = a + b + c

27 = (x + 1) + (x + 2) + (x + 3)

27 = x + 1 + x + 2 + x + 3

27 = 3x + 6

-3x = 6 – 27

-3x = -21      (multiplicamos os termos por -1)

x = 21

       3

x = 7cm

Substituindo o valor de x, vamos calcular as medidas dos lados do triângulo:

a = x + 1

a = 7 + 1

a = 8m

b = x + 2

b = 7 + 2

b = 9m

c = x + 3

c = 7 + 3

c = 10m

Confirmando P = 27cm:

P = a + b + c

P = 8 + 9 + 10

P = 27

Exercícios

1. Determine a raiz ou solução de cada equação dada a seguir, sendo U = Q:

a) 7x + 1 – 5x = 9

Resposta: S = {4}

b) y + 9y + 5 = -15

Resposta: S = {-2}

c) 21x + 1 = 11x + 6

Resposta: S = {1/2}

d) 9x – 23 = 13 – 27

Resposta: S = {1}

2. Sendo U = Q, determine a raiz ou solução das equações:

a) 5 . (m + 1) – 3 . (2m + 1) = 4 . (5 – m)

Resposta: S = {6}

b) 2 . (y – 2) + 5 . (2 – y) =  - 3 . (2y + 2)

Resposta: S = {-4}

c) 3 – (3x – 6) = 2x + (4 – x)

Resposta: S = {5/4}

3. Calcule o valor de x para que se tenha 3x – (x + 1) = -x + 1.

Resposta: 2/3

4. Na equação (m – 3) . x + 3x + 4 . (m – 5) = 0, temos que x = 2. Determine o número que expressa o valor da letra m.

Resposta: 10/3

5. Considerando que as expressões 3(1,2x – 2,4) e 2(1 + 1,5x) + 2,8 são iguais, determine x.

Resposta: 20

6. A área de um terreno em forma de trapézio mede 50m². A medida da base menor é 8m e a medida da altura é 5m. Calcule a medida da base maior.

Resposta: 12m

7. São dados três números naturais  2x         x             x  + 4 . A soma desses números é 116. Calcule o seu produto.

Solução: 50176