Equações (III)

Exercícios Resolvidos

1. A soma de um número com a sua quinta parte é igual ao dobro do número, diminuído de 30. Determine esse número.

Solução:

Não conhecemos o número, portanto vamos atribuir à letra m.

m mais sua quinta parte (1/5m) igual ao dobro (2m) menos 30

Escrevemos a equação assim:

m + 1m = 2m - 30

       5

Reduzimos todos os termos ao mesmo denominador. Nesse caso, 5. Multiplicamos todos os termos pelo denominador pelo denominador comum, assim obteremos uma equação apenas com coeficientes inteiros:

5m + 1m = 10m - 150

 5       5       5         5

5.(5m) + 5.(m) = 5.(10m) – 5.(150)

      5            5             5               5

5m + m = 10m – 150

6m – 10m = -150

-4m = -150      (multiplicamos os termos por -1)

-1 . (-4m) = -1 . (-150)

4m = 150

m = 150

          4

m = 37,5

2. Dada a equação 3x + 5 _ 2x – 9 = 8, sendo U = IN, determine o valor de x.

                                   2            3

Solução:

Devemos reduzir todos os termos da equação ao mesmo denominador, fatorando 2 e 3...........m.m.c (2 e 3) = 6 e, em seguida, multiplicar todos os termos pelo denominador comum (aplicando o princípio multiplicativo) para obter uma equação com coeficientes inteiros.

3x + 5 _ 2x – 9 = 8

    2             3

3.(3x + 5) _ 2.(2x – 9) = 6 . 8

        6                  6             6

(9x + 15) _ (4x – 18) = 48

     6                6              6

6.(9x + 15) _ 6.(4x – 18) =  6.(48)   (eliminamos o denominador: 6/6 = 1)

   (     6     )       (     6     )         (6 )

Eliminamos os parênteses, respeitando os sinais:

9x + 15 – 4x + 18 = 48

9x – 4x = 48 – 15 – 18

5x = 15

x = 15

       5

x = 3 (raiz da equação)

S = {3}

3. Se a área de um terreno retangular é de 360m² e uma de suas dimensões é 12m, calcule a outra dimensão.

                             

h

           b      

Solução:

Apliquemos a fórmula: A = b . h (vide explicação na p. Fórmulas deste blog)

Temos: A = 360, h = 12 e b = ? Calculemos b:

A = b . h

360 = b . 12

b = 360

        12

b = 30m

4. Em um terreno retangular, a medida do contorno é de 80 metros. A lateral mede o triplo da frente do terreno. Se for colocada grade de ferro na frente do terreno, quantos metros de grade serão necessários?

Solução:

Consideremos a medida do contorno como o perímetro (P), a lateral como o comprimento (b) e a frente como a largura (h):

P = 80, b = 3h e h = ?

Aplicando a fórmula, P = 2b + 2h, vamos calcular h:

P = 2b + 2h

80 = 2.(3h) + 2h

80 = 6h + 2h

80 = 8h

-8h = -80  .(-1)

8h = 80

h = 80

        8

h = 10m

5. Um tanque está completamente cheio de água. Deixando-se escoar 68 litros de água, o tanque fica ainda com a terça parte de sua capacidade total. Qual é a capacidade desse tanque?

Solução:

Vamos atribuir à capacidade do tanque a letra x; ao escoar, a sua capacidade é diminuída, portanto usaremos o sinal – na sentença; a terça parte da sua capacidade será representada pela fração 1/3x.

x – 68 = 1x

              3

x – 1x = 68

      3

Multipliquemos todos os termos pelo denominador 3

3 . x – 3. 1x = 3 . 68

               3

3x – x = 204

2x = 204

x = 204

         2 

x = 102 litros

6. Um terreno tem a forma de um trapézio com uma área de 270m². A base maior desse terreno mede 20m e a altura, 15m. Quanto mede a base menor do terreno?

Solução:

Temos : A = 270, B = 20, h = 15 e b = ?

Aplicando a fórmula:

A = (B + b) . h

               2

270 = (20 + b) . 15

                  2

Multiplicamos os termos por 2, para que os coeficientes sejam inteiros:

2 . 270 = 2. (20 + b) . 15

                             2

540 = (20 + b) . 15

540 = 300 + 15b

-15b = 300 -540

-15b = -240  (multiplicamos os termos por -1)

-1 . (-15b) = -1 . (-240)

15b = 240

b = 240

       15

b = 16m

7. O perímetro de um triângulo é 27cm. As medidas dos lados desse triângulo são expressas por três números inteiros e consecutivos. Quais são as medidas dos lados do triângulo?

Solução:

Vamos atribuir as letras a, b e c aos lados do triângulo.

Temos: P = 27,  a = x + 1,  b = x + 2,  c = x + 3

Aplicando a fórmula (v. p. FÓRMULAS neste blog), vamos calcular o valor de x:

P = a + b + c

27 = (x + 1) + (x + 2) + (x + 3)

27 = x + 1 + x + 2 + x + 3

27 = 3x + 6

-3x = 6 – 27

-3x = -21      (multiplicamos os termos por -1)

x = 21

       3

x = 7cm

Substituindo o valor de x, vamos calcular as medidas dos lados do triângulo:

a = x + 1

a = 7 + 1

a = 8m

b = x + 2

b = 7 + 2

b = 9m

c = x + 3

c = 7 + 3

c = 10m

Confirmando P = 27cm:

P = a + b + c

P = 8 + 9 + 10

P = 27

Exercícios

1. Determine a raiz ou solução de cada equação dada a seguir, sendo U = Q:

a) 7x + 1 – 5x = 9

Resposta: S = {4}

b) y + 9y + 5 = -15

Resposta: S = {-2}

c) 21x + 1 = 11x + 6

Resposta: S = {1/2}

d) 9x – 23 = 13 – 27

Resposta: S = {1}

2. Sendo U = Q, determine a raiz ou solução das equações:

a) 5 . (m + 1) – 3 . (2m + 1) = 4 . (5 – m)

Resposta: S = {6}

b) 2 . (y – 2) + 5 . (2 – y) =  - 3 . (2y + 2)

Resposta: S = {-4}

c) 3 – (3x – 6) = 2x + (4 – x)

Resposta: S = {5/4}

3. Calcule o valor de x para que se tenha 3x – (x + 1) = -x + 1.

Resposta: 2/3

4. Na equação (m – 3) . x + 3x + 4 . (m – 5) = 0, temos que x = 2. Determine o número que expressa o valor da letra m.

Resposta: 10/3

5. Considerando que as expressões 3(1,2x – 2,4) e 2(1 + 1,5x) + 2,8 são iguais, determine x.

Resposta: 20

6. A área de um terreno em forma de trapézio mede 50m². A medida da base menor é 8m e a medida da altura é 5m. Calcule a medida da base maior.

Resposta: 12m

7. São dados três números naturais  2x         x             x  + 4 . A soma desses números é 116. Calcule o seu produto.

Solução: 50176

Equações ( II )

Equação do 1º Grau com uma Incógnita           

É toda equação que, reduzida à sua forma mais simples, assume a forma ax = b, em que x representa a incógnita e a e b são números racionais, com a ≠ 0.

Os números a e b são denominados coeficientes da equação.

Exemplos:

x = 8       → equação do 1º grau na incógnita x

-3y = 15  → equação do 1º grau na incógnita y

Existem, entretanto, outras equações do 1º grau com uma incógnita que não são escritas na forma ax = b.

Exemplos:

5x + 6 = 2x – 9  → equação do 1º grau na incógnita x

y + 2y = 5          → equação do 1º grau na incógnita y

      3

Exercícios Resolvidos

1. Resolver as equações abaixo, sendo U = Q:

a) 5x + 1 = 36

Solução:

5x + 1 = 36

5x = 36 -1

5x = 35

  x = 35

         5

  x = 7

Como 7 ϵ Q, temos S = {7}.

b) 7x = 4x + 5

Solução:   

7x = 4x + 5

7x – 4x = 5

3x = 5

 x = 5  ou 5/3

       3

Como 5/3 ϵ Q, temos S = {5/3}.

                                    

c) 9x – 7 = 5x + 13

Solução:

9x – 7 = 5x + 13

9x – 5x = 13 + 7

4x = 20

 x = 20

       4

 x = 5

Como 5 ϵ Q, temos S = {5}.

d) 2t + 1 = -8

Solução:

2t + 2 = -8

2t = -8 - 2

2t = -10

t = -10

  2

t = -5

Como -5 ϵ Q, temos S = {-5}.

2. Dadas as equações 10y + 4 = 16 – 8 e 9x – 4 = 6x + 8. Pede-se:

a) o valor do número y

b) o valor do número x

c) o produto de y por x

Solução:

Calculemos o valor de y na equação 10y + 4 = 16y – 8.

10y – 16y = -8 – 4

- 6y = - 12

Aplicando-se o princípio multiplicativo, multiplicamos os dois membros por -1

-6y . (-1) = -12 . (-1)

6y = 12

y = 12

 6

y = 2

Calculemos o valor de x na equação 9x – 4 = 6x + 8.

9x – 4 = 6x + 8

9x – 6x = 8 + 4

3x = 12

x = 12

       3

x = 4

Calculamos o produto de y por x substituindo-os pelos valores encontrados.

y . x = 2 . 4 = 8

Equações ( I )

Equação é toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual haja uma ou mais letras que representem números desconhecidos dessa sentença.

Cada letra que representa um número desconhecido chama-se incógnita.

Exs: 3x – 2 = 16 (equação com uma incógnita: x)

          x + y = 21 (equação com duas incógnitas: x e y)

Nas sentenças matemáticas, usamos símbolos em vez de palavras. Veja.

= (igual a)

≠ (diferente de)

> (maior que)

< (menor que)

↔ (equivalente a)

Em uma igualdade, a expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada 1º membro da igualdade; a situada à direita do símbolo = é denominada 2º membro da igualdade.

Observe.

8 + 3 = 11 → 2º membro

   ↓

1º membro

Propriedades da Igualdade      

·         Reflexiva: a = a, para qualquer número racional a. Ex: 4 = 4; 3/5 = 3/5

·         Simétrica: a = b ↔ b = a, para quaisquer a e b. Ex: 3 + 5 = 8 → 8 = 3 + 5

·         Transitiva: a = b e b = c ↔ a = c, para quaisquer a, b e c.

                    Ex: 3 + 5 = 8 e 8 = 9 – 1 ↔ 3 + 5 = 9 – 1

Exercícios Resolvidos

1. Escreva a equação correspondente a cada situação:

a) Um número y aumentado de 80 é igual a 120.

Solução: y + 80 = 120

b) Subtraindo 9 de um número x, obtemos 63.

Solução: x – 9 = 63

c) O dobro do número x aumentado de 80 é igual a 168.

Solução: 2x + 80 = 168

d) A metade do número x adicionada com a terça parte do mesmo número x é igual a 35.

Solução: 1/2x + 1/3x = 35

e) O triplo do número x diminuído de 13 dá 47.

Solução: 3x – 13 = 47

f) O quádruplo do número x é igual ao próprio número x aumentado de 72.

Solução: 4x = x + 72

g) O número y diminuído do seu triplo é igual ao quádruplo do próprio número y menos 18.

Solução: y – 3y = 4y - 18

2. Daqui a 15 anos Perla terá 36 anos. Escreva uma equação que permita calcular a idade que Perla tem atualmente.

Solução: x + 15 = 36

3. Há duas caixas num depósito, uma delas tem o quíntuplo da massa da outra. Se as duas caixas juntas pesam 42 quilogramas, escreva a equação que representa esse fato.

Solução: x + 5x = 42

Conjunto universo de uma equação (U) – conjunto numérico formado por todos os valores pelos quais a incógnita pode ser substituída.

• Se U = IN, a incógnita pode assumir o valor de qualquer número natural.

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6 ...}

• Se U = Z, a incógnita pode assumir o valor de qualquer número inteiro.

Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ...}

• Se U = Q, a incógnita pode assumir o valor de qualquer número racional.

Q = {a/b | a ϵ Z; b ϵ Z*}

Conjunto solução de uma equação (S) – também chamado de conjunto verdade (V) – é formado por todos os valores do conjunto universo dado que tornam verdadeira a igualdade.

O conjunto solução pode ter um ou mais elementos, podendo ser também um conjunto vazio.

Exemplo:

Qual é o conjunto solução da equação x + 1 = 0, sendo U = IN?

Equação: x + 1 = 0

Conjunto universo: U = IN

Conjunto solução: como nenhum número natural satisfaz a equação dada, o conjunto solução é vazio e é indicado por S = Ø.

Solução ou raiz: a equação não tem raiz no conjunto IN.

Como verificar se um número dado é raiz de uma equação?

• Substituímos a incógnita pelo número dado.
• Calculamos o valor numérico de cada membro da igualdade obtida, separadamente.

Se a igualdade obtida for verdadeira, o número dado será raiz da equação.

Exemplo:

Verificar se -6 é raiz da equação 3x – 5 = 5x + 7.

3x – 5 = 5x + 7

Substituímos a incógnita x pelo número -6

3 . (-6) – 5 = 5 . (-6) + 7

- 18 – 5 = - 30 + 7

- 23 = - 23

A sentença é verdadeira. Então, -6 é raiz da equação 3x – 5 = 5x + 7.

Equações Equivalentes – são duas ou mais equações que apresentam o mesmo conjunto solução (não vazio), em um mesmo conjunto universo.

Exemplos:

1. Dadas as equações x + 3 = 10; x = 10 – 3 e x = 7, sendo U = Q. Determine o conjunto solução de cada uma.

x + 3 = 10  → S = {7}

x = 10 – 7  → S = {7}

x = 7          → S = {7}

A forma mais simples de representar tais equações é x =7.

2. Considere as equações 2x = 10, x = 10/2 e x = 5, sendo U = Q. Verifique se apresentam a mesma raiz ou solução.

2x = 10  → S = {5}

x = 10/2 → S = {5}

x = 5      → S = {5}

A forma mais simples de representar tais equações é x = 5.

Princípios de Equivalência

·         Princípio aditivo – se a = b, então a + c = b + c

Exemplo:

Obter uma equação equivalente à equação x + 2 = 5, escrita na sua forma mais simples.

Solução:

Adicionemos 3 aos dois membros da equação

x + 2 = 5

x + 2 + 3 = 5 + 3

x + 5 = 5 + 3

x = 5 + 3 – 5

x = 3 (forma mais simples de escrever a equação x + 2 = 5)

As equações x + 2 = 5 e x = 3 são equivalentes, pois apresentam a mesma solução.

·         Princípio multiplicativo – se a = b, então a . c = b . c, com c ≠ 0

Exemplo:

Obter uma equação equivalente à equação 2x = 12

Solução:

Multipliquemos os dois membros da equação por 2

2x = 12  → equação dada, S = {6}               

2 . (2x) = 2 . 12

4x = 24  → equação equivalente à equação dada, pois S = {6}