Sistema de Numeração (I)

Sistema de numeração é o conjunto de regras que permite escrever e ler qualquer número, utilizando símbolos e palavras.

Sistema Romano de Numeração

Esse sistema foi criado com base em sete símbolos.

I         V         X          L         C         D          M   

↓         ↓         ↓          ↓          ↓         ↓           ↓

1         5        10        50       100      500       1.000

Regras

• Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos, no máximo, três vezes.

      I → 1          X → 10            C → 100            M → 1000

      II → 2         XX → 20         CC → 200         MM → 2000

      III → 3       XXX → 30       CCC → 300      MMM → 3000

    

• Um símbolo colocado à esquerda de outro símbolo de maior valor indica uma subtração dos respectivos valores.

      IV → 4 = 5 – 1        XL → 40 = 50 – 10          CD → 400 = 500 – 100

      IX → 9 = 10 – 1      XC → 90 = 100 – 10        CM → 900 = 1.000 – 100

• Para apresentar os números no sistema romano de numeração, basta colocar os símbolos lado a lado e adicionar seus valores.

      VI → 6 = 5 + 1           XXXVII → 37 = 30 + 7

      XI → 11 = 10 + 1       CMLXII → 962 = 900 + 60 + 2

      XV → 15 = 10 + 5      MDCCCXXIII → 1823 = 1000 + 800 +20 + 3

  

• Um símbolo com um traço acima deles representa milhares; com dois traços representa milhões.

      ͞V → 5.000        ͞VĪDCCXX → 6720       ̿X ̿X → 20.000.000  

Atenção!

I só pode ser subtraído de V e X;

C só pode ser subtraído de D e M;

X só pode ser subtraído de L e C.

Os símbolos V, L e D não podem ser subtraídos de nenhum outro.

No sistema romano de numeração não existe um símbolo representativo do zero.

Atividade

As igualdades abaixo são falsas. Em cada uma delas, troque a posição de um só palito para torná-las verdadeiras.

      A primeira já está solucionada.                    

a)      X – IX = XX → X + X = XX (√)

b)      IX + II = XIII

c)      VI – I = VI

d)     XII – VI = XVII

e)      X + X = I

Sistema de Numeração Decimal – Nosso Sistema

Usando grupos de dez, os hindus desenvolveram um sistema de numeração que estabelecia a idéia de posição. Nesse sistema, eram usados símbolos para representar as quantidades de 1 a 9. O símbolo zero foi criado pelos hindus no século VI; inicialmente era representado por um ponto ou um pequeno círculo.

Os árabes ocidentais, quando povoaram o norte da África e parte da Espanha, introduziram os símbolos hindus, que deram origem aos símbolos indo-arábicos * ou algarismos **, e ao sistema de numeração decimal, que utilizamos até hoje.

* Denominação dada devido ao fato de os símbolos e regras regentes desse sistema terem sido criados pelos hindus e aperfeiçoados e divulgados pelos árabes.

** Palavra que tem origem no nome al-Khowarizmi, sobrenome do matemático árabe Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi (780 – 850), autor do primeiro livro conhecido com explicações detalhadas sobre os cálculos hindus.

Características do Sistema Decimal

1. Com apenas 10 símbolos pode-se escrever qualquer número.
2. O sistema decimal é de base 10, pois os agrupamentos são feitos de dez em dez.
3. O sistema decimal é posicional porque, a depender da posição que ocupa no número, o mesmo símbolo representa valores diferentes.
4. O sistema indo-arábico utiliza o zero para indicar casa vazia dentre os agrupamentos de dez do número considerado.
5. O sistema decimal é multiplicativo porque um algarismo escrito à esquerda de outro vale dez vezes o valor posicional que teria se estivesse ocupando a posição desse outro.

Exemplo: 888 = 8 x 100 + 8 x 10 + 8

Considerando-se o grupo das vogais do nosso alfabeto (a - e - i - o - u), associamos à quantidade de elementos desse grupo o nome cinco e o símbolo 5.

Conjunto dos Números Naturais

Quando incluímos o zero, este conjunto é representado pela letra IN:

• IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

Quando excluímos o zero do conjunto IN, ele passa a ser denominado conjunto dos números naturais não nulos, representado pela letra IN*:

• IN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

   

Com exceção do zero (menor número natural), todo número natural tem um antecessor. Para encontrá-lo, subtraia 1.

Exemplos:

a)   887 é antecessor de 888

b)   5713 é antecessor de 5714

Todo número natural tem um sucessor. Para encontrá-lo, acrescente 1.

Exemplos:

a)   1 é sucessor de 0

b)   1234 é  sucessor de 1233

Veja as sucessões a seguir:

     a)  0, 2, 4, 6, 8, ... é denominada sucessão de números naturais pares.

     b)  1, 3, 5, 7, 9, ... é denominada sucessão de números naturais ímpares.

Dois ou mais números que se seguem na sucessão dos números naturais são denominados consecutivos.

Exemplos:

a)  30, 31 e 32

b)  234, 235 e 236

Atividade

Quais são o antecessor e o sucessor pares dos números:

a) 524                b) 1768                  c) 2056                d)19332

Quais são o antecessor e o sucessor ímpares dos números:

a) 203                b) 1005                  c) 7009                d) 30331