Equação é toda sentença matemática
expressa por uma igualdade, na qual haja uma ou mais letras que representem
números desconhecidos dessa sentença.
Cada letra que
representa um número desconhecido chama-se incógnita.
Exs: 3x – 2 = 16 (equação com uma
incógnita: x)
x + y = 21 (equação com duas
incógnitas: x e y)
Nas sentenças
matemáticas, usamos símbolos em vez de palavras. Veja.
=
(igual a)
≠
(diferente de)
>
(maior que)
<
(menor que)
↔
(equivalente a)
Em uma
igualdade, a expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada 1º membro da igualdade; a situada à direita
do símbolo = é denominada 2º membro da igualdade.
Observe.
8 + 3 =
11 → 2º membro
↓
1º membro
Propriedades da Igualdade
·
Reflexiva:
a = a, para qualquer número racional a. Ex: 4 = 4; 3/5 = 3/5
·
Simétrica:
a = b ↔ b = a,
para quaisquer a e b. Ex: 3 + 5 = 8 → 8 = 3 + 5
·
Transitiva:
a = b e b = c ↔
a = c, para quaisquer a, b e c.
Ex: 3 + 5 = 8 e 8 = 9 – 1 ↔ 3 + 5 = 9 – 1
Exercícios Resolvidos
1. Escreva a
equação correspondente a cada situação:
a) Um número y aumentado de 80 é
igual a 120.
Solução:
y + 80 = 120
b) Subtraindo 9 de um número x,
obtemos 63.
Solução:
x – 9 = 63
c) O dobro do número x aumentado
de 80 é igual a 168.
Solução:
2x + 80 = 168
d) A metade do número x
adicionada com a terça parte do mesmo número x é igual a 35.
Solução:
1/2x + 1/3x = 35
e) O triplo do número x diminuído
de 13 dá 47.
Solução:
3x – 13 = 47
f) O
quádruplo do número x é igual ao próprio número x aumentado de 72.
Solução:
4x = x + 72
g) O número y diminuído do seu
triplo é igual ao quádruplo do próprio número y menos 18.
Solução:
y – 3y = 4y - 18
2. Daqui a 15 anos Perla terá 36
anos. Escreva uma equação que permita calcular a idade que Perla tem
atualmente.
Solução:
x + 15 = 36
3. Há duas caixas num depósito,
uma delas tem o quíntuplo da massa da outra. Se as duas caixas juntas pesam 42 quilogramas ,
escreva a equação que representa esse fato.
Solução:
x + 5x = 42
Conjunto universo de uma equação (U) – conjunto
numérico formado por todos os valores pelos quais a incógnita pode ser
substituída.
- Se U = IN, a incógnita pode assumir o valor de qualquer número natural.
IN = {0, 1, 2,
3, 4, 4, 5, 6 ...}
- Se U = Z, a incógnita pode assumir o valor de qualquer número inteiro.
Z = {... -3,
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ...}
- Se U = Q, a incógnita pode assumir o valor de qualquer número racional.
Q = {a/b | a ϵ
Z; b ϵ Z*}
Conjunto solução de uma equação (S) –
também chamado de conjunto verdade (V) – é formado por todos os valores do
conjunto universo dado que tornam verdadeira a igualdade.
O conjunto
solução pode ter um ou mais elementos, podendo ser também um conjunto vazio.
Exemplo:
Qual é o
conjunto solução da equação x + 1 = 0, sendo U = IN?
Equação: x + 1 = 0
Conjunto universo: U = IN
Conjunto solução: como nenhum
número natural satisfaz a equação dada, o conjunto solução é vazio e é indicado
por S = Ø.
Solução ou raiz: a equação não
tem raiz no conjunto IN.
Como verificar se um número dado é raiz de
uma equação?
- Substituímos a incógnita pelo número dado.
- Calculamos o valor numérico de cada membro da igualdade obtida, separadamente.
Se a igualdade obtida for verdadeira, o número dado será raiz da equação.
Exemplo:
Verificar se -6 é raiz da equação 3x – 5 = 5x + 7.
3x – 5 = 5x + 7
Substituímos a incógnita x pelo número -6
3 . (-6) – 5 = 5 . (-6) + 7
- 18 – 5 = - 30 + 7
- 23 = - 23
A sentença é verdadeira. Então, -6 é raiz da equação 3x – 5 = 5x + 7.
Equações Equivalentes – são
duas ou mais equações que apresentam o mesmo conjunto solução (não vazio), em
um mesmo conjunto universo.
Exemplos:
1. Dadas as equações x + 3 = 10; x = 10 – 3 e x = 7, sendo U = Q. Determine
o conjunto solução de cada uma.
x + 3 = 10 → S = {7}
x = 10 – 7 → S = {7}
x = 7 → S = {7}
A forma mais simples de representar tais equações é x =7.
2. Considere as equações 2x = 10, x = 10/2 e x = 5, sendo U = Q.
Verifique se apresentam a mesma raiz ou solução.
2x = 10 → S = {5}
x = 10/2 → S = {5}
x = 5 → S = {5}
A forma mais simples de representar tais equações é x = 5.
Princípios de Equivalência
·
Princípio
aditivo – se a = b, então a + c = b + c
Exemplo:
Obter uma equação equivalente à equação x + 2 = 5, escrita na sua forma
mais simples.
Solução:
Adicionemos 3 aos dois membros da equação
x + 2 = 5
x + 2 + 3 = 5 + 3
x + 5 = 5 + 3
x = 5 + 3 – 5
x = 3 (forma mais simples de
escrever a equação x + 2 = 5)
As equações x + 2 = 5 e x = 3 são equivalentes, pois apresentam a mesma
solução.
·
Princípio
multiplicativo – se a = b, então a . c = b . c, com c ≠ 0
Exemplo:
Obter uma equação equivalente à equação 2x = 12
Solução:
Multipliquemos os dois membros da equação por 2
2x = 12 → equação dada, S =
{6}
2 . (2x) = 2 . 12
4x = 24 → equação equivalente à
equação dada, pois S = {6}
