Pensamento do Dia

"Começar é a parte mais importante de qualquer trabalho"  Platão.

Sistema de Numeração (II)

Valor Posicional

Um mesmo símbolo (algarismo) representará valores diferentes a depender da posição que ocupar no número.

Consideremos o seguinte número:

7.683 (sete mil, seiscentos e oitenta e três).

                                                      

Observe a posição que cada símbolo ocupa no número:

3  →  1ª posição ou 1ª ordem: 3 unidades

         

8  →  2ª posição ou 2ª ordem: 8 dezenas = 8 x 10 ou 80 unidades

 

6  →  3ª posição ou 3ª ordem: 6 centenas = 6 x 100 ou 600 unidades

7  →  4ª posição ou 4ª ordem: 7 unidades de milhar = 7 x 1000 ou 7000 unidades

Quadro de posições* até a 10ª ordem

10ª ordem	9ª ordem	8ª ordem	7ª ordem	6ª ordem	5ª ordem	4ª ordem	3ª ordem	2ª ordem	1ª ordem
UBi	CMi	DMi	UMi	CM	DM	UM	C	D	U

U – unidades simples    UM – unidades de milhar   UMi – unidades de milhão

D – dezenas simples      DM – dezenas de milhar    DMi – dezenas de milhão

C – centenas simples     CM – centenas de milhar   CMi – centenas de milhão

UBi – unidades de bilhão ...

Ao considerarmos o número natural 59.035, vamos localizá-lo no quadro de ordens a seguir e escrevê-lo por extenso.

59.035

  

DM	UM	C	D	U
5	9	0	3	5

Cinqüenta e nove mil e trinta e cinco

*O quadro de ordens nos ajuda a ler, escrever, compor e decompor números.

 Leitura e Escrita de um Número Natural

  

No Sistema de Numeração Decimal, os números são lidos ou escritos mais facilmente quando separamos os algarismos em grupos de três, começando pela direita. Isso porque cada três ordens formam uma classe.

Observe os números abaixo:

3.940.106        - três milhões, novecentos e quarenta mil, cento e seis.

8.637.256.930 – oito bilhões, seiscentos e trinta e sete milhões, duzentos e cinqüenta e seis, novecentos e trinta.                          

4.000.166 – quatro milhões, cento e sessenta e seis. **

Cada grupo de três algarismos constitui uma classe e cada classe tem um nome.

Veja o quadro com as ordens e as classes ocupadas pelos algarismos dos números naturais em destaque:

CLASSE DOS BILHÕES

CLASSE DOS MILHÕES

CLASSE DOS MILHARES

CLASSE DAS UNIDADES SIMPLES

11ª ordem	10ª ordem	9ª ordem	8ª ordem	7ª ordem	6ª ordem	5ª ordem	4ª ordem	3ª ordem	2ª ordem	1ª ordem
DBi	UBi	CMi	DMi	UMi	CM	DM	UM	C	D	U
				3	9	4	0	1	0	6
	8	6	3	7	2	5	6	9	3	0
				4	0	0	0	1	6	6

** Quando todas as ordens de uma classe são representadas por zero, não se lê essa classe.

Atividade

1. Veja este número: 8.097.

a)    Que troca deve ser feita para o 7 aumentar seu valor em 100 vezes? Escreva o número obtido após essa troca.

b)   Que troca deve ser feita para o 7 aumentar seu valor em 10 vezes? Que número é obtido nesse caso?

c)     Que troca deve ser feita para o 7 aumentar seu valor em 1000 vezes? Obtém-se que número dessa forma?

2. Ao trocar de lugar o 7 e o 2 no número 45.732,

a)      O novo número aumenta ou diminui?

b)      O que acontece com o valor posicional do 7 após a troca?

c)      E com o valor posicional do 2?

Pensamento do Dia

"A moralidade é a melhor de todas as regras para orientar a humanidade" Friedrich Nietzsche.

Sistema de Numeração (I)

Sistema de numeração é o conjunto de regras que permite escrever e ler qualquer número, utilizando símbolos e palavras.

Sistema Romano de Numeração

Esse sistema foi criado com base em sete símbolos.

I         V         X          L         C         D          M   

↓         ↓         ↓          ↓          ↓         ↓           ↓

1         5        10        50       100      500       1.000

Regras

• Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos, no máximo, três vezes.

      I → 1          X → 10            C → 100            M → 1000

      II → 2         XX → 20         CC → 200         MM → 2000

      III → 3       XXX → 30       CCC → 300      MMM → 3000

    

• Um símbolo colocado à esquerda de outro símbolo de maior valor indica uma subtração dos respectivos valores.

      IV → 4 = 5 – 1        XL → 40 = 50 – 10          CD → 400 = 500 – 100

      IX → 9 = 10 – 1      XC → 90 = 100 – 10        CM → 900 = 1.000 – 100

• Para apresentar os números no sistema romano de numeração, basta colocar os símbolos lado a lado e adicionar seus valores.

      VI → 6 = 5 + 1           XXXVII → 37 = 30 + 7

      XI → 11 = 10 + 1       CMLXII → 962 = 900 + 60 + 2

      XV → 15 = 10 + 5      MDCCCXXIII → 1823 = 1000 + 800 +20 + 3

  

• Um símbolo com um traço acima deles representa milhares; com dois traços representa milhões.

      ͞V → 5.000        ͞VĪDCCXX → 6720       ̿X ̿X → 20.000.000  

Atenção!

I só pode ser subtraído de V e X;

C só pode ser subtraído de D e M;

X só pode ser subtraído de L e C.

Os símbolos V, L e D não podem ser subtraídos de nenhum outro.

No sistema romano de numeração não existe um símbolo representativo do zero.

Atividade

As igualdades abaixo são falsas. Em cada uma delas, troque a posição de um só palito para torná-las verdadeiras.

      A primeira já está solucionada.                    

a)      X – IX = XX → X + X = XX (√)

b)      IX + II = XIII

c)      VI – I = VI

d)     XII – VI = XVII

e)      X + X = I

Sistema de Numeração Decimal – Nosso Sistema

Usando grupos de dez, os hindus desenvolveram um sistema de numeração que estabelecia a idéia de posição. Nesse sistema, eram usados símbolos para representar as quantidades de 1 a 9. O símbolo zero foi criado pelos hindus no século VI; inicialmente era representado por um ponto ou um pequeno círculo.

Os árabes ocidentais, quando povoaram o norte da África e parte da Espanha, introduziram os símbolos hindus, que deram origem aos símbolos indo-arábicos * ou algarismos **, e ao sistema de numeração decimal, que utilizamos até hoje.

* Denominação dada devido ao fato de os símbolos e regras regentes desse sistema terem sido criados pelos hindus e aperfeiçoados e divulgados pelos árabes.

** Palavra que tem origem no nome al-Khowarizmi, sobrenome do matemático árabe Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi (780 – 850), autor do primeiro livro conhecido com explicações detalhadas sobre os cálculos hindus.

Características do Sistema Decimal

1. Com apenas 10 símbolos pode-se escrever qualquer número.
2. O sistema decimal é de base 10, pois os agrupamentos são feitos de dez em dez.
3. O sistema decimal é posicional porque, a depender da posição que ocupa no número, o mesmo símbolo representa valores diferentes.
4. O sistema indo-arábico utiliza o zero para indicar casa vazia dentre os agrupamentos de dez do número considerado.
5. O sistema decimal é multiplicativo porque um algarismo escrito à esquerda de outro vale dez vezes o valor posicional que teria se estivesse ocupando a posição desse outro.

Exemplo: 888 = 8 x 100 + 8 x 10 + 8

Considerando-se o grupo das vogais do nosso alfabeto (a - e - i - o - u), associamos à quantidade de elementos desse grupo o nome cinco e o símbolo 5.

Conjunto dos Números Naturais

Quando incluímos o zero, este conjunto é representado pela letra IN:

• IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

Quando excluímos o zero do conjunto IN, ele passa a ser denominado conjunto dos números naturais não nulos, representado pela letra IN*:

• IN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

   

Com exceção do zero (menor número natural), todo número natural tem um antecessor. Para encontrá-lo, subtraia 1.

Exemplos:

a)   887 é antecessor de 888

b)   5713 é antecessor de 5714

Todo número natural tem um sucessor. Para encontrá-lo, acrescente 1.

Exemplos:

a)   1 é sucessor de 0

b)   1234 é  sucessor de 1233

Veja as sucessões a seguir:

     a)  0, 2, 4, 6, 8, ... é denominada sucessão de números naturais pares.

     b)  1, 3, 5, 7, 9, ... é denominada sucessão de números naturais ímpares.

Dois ou mais números que se seguem na sucessão dos números naturais são denominados consecutivos.

Exemplos:

a)  30, 31 e 32

b)  234, 235 e 236

Atividade

Quais são o antecessor e o sucessor pares dos números:

a) 524                b) 1768                  c) 2056                d)19332

Quais são o antecessor e o sucessor ímpares dos números:

a) 203                b) 1005                  c) 7009                d) 30331

Mensagem

"Há três tipos de pessoas: as que deixam acontecer, as que fazem acontecer e as que perguntam o que aconteceu" - John Richardson Jr.